Теорія ігор і Талмуд. Задача про банкрутство

Як правило теорія ігор досліджує конфлікти між учасниками, коли виграш одного призводить до програшу іншого. Для таких ситуацій придумали некооперативні ігри, тобто ситуації де гравці (за умовами) не можуть домовлятися. Тому що про що можна домовитись з суперником, наприклад, у шахах? Для таких ігор була доведена теорема про мінімакс, визначена рівновага Неша та інші штуки. Пізніше стало зрозуміло, що трапляються ситуації, коли гравці мають співпрацювати для досягнення бажаного результату, але які все таки, по суті, також є конкурентними.

Наприклад купівля товару. У Вас є оцінка цінності об'єкту і якщо ціна буде нижча — Ви у виграші. У продавця є знання собівартості і якщо ціна буде вище — він у виграші. Ви купуєте «унікальний» папірус з поклонінням Анубісу вважаючи, що він прикрасить вашу квартиру (спойлер: насправді ні) за певну договірну суму, яка (як вважається), має бути вигідною обом сторонам, тобто давати кожній певні виграші. Але для створення цих виграшів ви повинні домовитись до спільного рішення — ціни продажу. Ця ціна може давати більший виграш Вам або продавцю і залежить від переговорних здібностей сторін. Мета кожного гравця, таким чином, є досягнення спільної угоди, але, разом з тим, отримання більшого виграшу. Досить суперечливо? Так і є в житті.

Рішенням цих проблем займається теорія кооперативних ігор. Кооперативні ігри охоплюють різні напрямки: переговори, укладання угод щодо розподілу прибутків/витрат, ігри голосування, спільне використання інфраструктури, товарів, послуг тощо.

Головна властивість кооперативних ігор — зв'язуюча угода (binding agreement). Після того як гравці досягли домовленості вважається, що домовленість буде виконуватись. Це може забезпечуватись нормами суспільства або судовою системою, коли витрати на розрив домовленості значно більше за вигоди..

Як випливає з назви, в цій статті мова буде йти про кооперативні ігри, які мають відношення до Талмуду. Вавілонський Талмуд є збірником текстів про єврейські закони, етику, звичаї і філософію та був записаний між другим і п'ятим сторіччями нашої ери. Він складається з Мішни — збірки оригінальних текстів та Гемари — коментарів, які трактують та доповнюють Мішну.

В трактаті Ketubot 93a (авторства ребе Натана) розбирається наступний випадок. Один чоловік був одружений на трьох жінках (позначимо їх А, Б та В) і уклав з ними шлюбні угоди на 100, 200 і 300 зуз відповідно (далі просто числа). Після його смерті виявилось, що його майно коштує менше 600. Рекомендації поділу майна для різних випадків вказані в наступній таблиці:

Написано, що якщо майно коштує 100, то потрібно поділити порівну. Якщо майно коштує 300, то поділ пропорційний. А якщо 200 — то взагалі не дуже ясно звідки взялись цифри. Ребе Натан ніяких додаткових коментарів не залишив.

Ця Мішна була джерелом суперечок протягом довгого періоду, висловлювались припущення, що в процесі написання сталась помилка.

Один впливовий ребе Hai Gaon висловлював припущення, що цей приклад зв'язаний з випадком поділу накидки (буде розглянутий нижче), але він не зміг обгрунтувати своє твердження.

Нарешті у 1985 році з'явилась публікація Роберта Аумана та Майкла Машлера яка пояснила загальний принцип поділу (узгоджений з випадком поділу накидки), що призводить до чисел у таблиці. Спробуємо розібратись на простих прикладах яким чином їм це вдалося.

Задачі поділу майна

Перш за все зазначимо, що кооперативні ігри називають також коаліційними (там є відмінності, але для цієї статті вважаємо їх синонімами). Коаліційні ігри моделюють ситуації коли гравці утворюють коаліцію та генерують певну величину прибутку. Максимальна величина прибутку, яка генерується коаліцією називається її вартістю. Головна проблема, яка виникає: яку коаліцію створять раціональні гравці і як вони мають поділити її вартість між собою. Будемо розглядати ігри у яких вартість виражається в універсальних одиницях (зузах, драхмах, доларах), які мають однакову цінність для всіх учасників і вони можуть (при визначенні розподілу вартості) передавати її один одному. Таки ігри називаються іграми з трансферабельною корисністю. Задачі поділу майна потрапляють у цей тип ігор.

Дійсно, кредитори, яким винна людина мають або домовитись самостійно про розподіл майна боржника, або піти в суд. Суд призначить кожній стороні певну суму, при цьому гравці мають делегувати йому право визначати частку кожного. З іншого боку суд також має керуватись певним справедливим принципом поділу, інакше всі будуть незадоволені результатом.

Принцип рівного поділу спірної частки

Проблеми поділу власності, швидше за все, виникли тоді, коли виникло поняття власності. В Талмуді (Baba Mezi"a 2a) описується суд, де відбувається суперечка щодо знайденої одежі (накидки).

"Один заявляє, що вся вона належить йому, а інший — що половина належить йому... то перший отримує три чверті, другий — одну чверть".

Тут фактично сформульовано правило для судді як виконувати розділ будь-якого спірного майна між двома учасниками з нечіткими правами власності. І ситуація досить цікава. Думаю більшість в подібній ситуації запропонували б пропорційний розподіл — один заявляє права на дві частки, інший на одну частку, отже поділити треба — (⅔,⅓). Однак Талмуд пропонує іншу відповідь : ( ¾,¼) — яка відповідає принципу рівного поділу спірної частки. Як він працює?

По-перше, потрібно вирішити яка частина одежі спірна. В нашому випадку один претендує на все, інший на половину, отже спірною є половина одежі.

По-друге, потрібно поділити спірну частку порівну — тобто по чверті, та віддати її кожній стороні.

По-третє, потрібно віддати решту (те що не є спірною часткою) тій стороні. яка заявила на нього права.

Виявляється, що цей алгоритм (якому приблизно 2000 років) має зв'язок з сучасними задачами і є більш справедливим у багатьох ситуаціях ніж ділення пропорційно.

Приклад 1. Двоє кредиторів давали гроші боржнику. Один дав йому 300, інший 90. Все майно боржника оцінюється в 120. Це проблема банкрутства яку ми розв'яжемо відповідно до принципу рівного поділу спірної частки.

Перший кредитор претендує на 300, але у боржника є тільки 120. Більше наявної кількості він не може вимагати, отже його вимога це вся наявна кількість. Другий кредитор вимагає 90 — це менше за наявну кількість, отже 30 переходить першому кредитору відразу (другий на цю суму не може претендувати). Таким чином спірна частка 90 і вона ділиться навпіл.

Результат: перший кредитор отримує 45 + 30 = 75, другий 45.

В попередньому прикладі ми ділили борги, фактично гравці об'єднуються у коаліцію щоб зменшити свої втрати (якщо не домовляться, то втрачають все, якщо домовляються — тільки частину).

Принцип справедливого поділу пирога

За допомогою схожого принципу розв'язуються і більш складні задачі. Він носить назву принципу справедливого поділу пирога. Пиріг тут це термін, що використовується у теорії ігор.

Пиріг = спільний сумарний виграш від кооперації (досягнення угоди) мінус сума виграшів гравців у разі самостійної роботи.

Для отримання справедливого рішення потрібно ділити пиріг порівну між сторонами угоди.

Приклад 2. Розглянемо таку ситуацію: дві фірми А та Б вирішили інвестувати у програмний продукт, який коштує 30. Перша фірма отримає прибуток від створення продукту 50, а друга 80. Як поділити витрати?

Якщо фірма А самостійно інвестує, то вона отримує 50 — 30 = 20. 20 — це її виграш у разі самостійної роботи.

Якщо фірма Б самостійно інвестує, то вона отримує 80 — 30 = 50.

При спільному виконанні проекту їх сумарний виграш дорівнює 50 + 80 — 30 = 100.

Пиріг дорівнює 100 — 20 — 50 = 30. Ділимо його навпіл.

Прибуток першої фірми таким чином 15 + 20 = 35

Прибуток другої фірми 15 + 50 = 65

Отже вони поділили витрати на інвестиції порівну.

Розберемо тепер випадок коли вартість розробки зростає до 60.

Перша фірма не інвестує смостійно, бо її виграш від'ємний.

Друга фірма самостійно отримує виграш 80 — 60 = 20.

Спільний виграш 50 + 80 — 60 = 70

Пиріг дорівнює 70 — 0 — 20 = 50. Ділимо його навпіл.

Прибуток першої фірми таким чином 25

Прибуток другої фірми 25 + 20 = 45

Витрати на розробку слід поділити 25 на 35

Як цей принцип узгоджується з попереднім? Для першого випадку разом вони отримують прибуток 100, їх претензії 50 і 80. Як видно, спірна частина прибутку — 30, ділимо її навпіл і отримуємо ті самі цифри: 35 і 65.

Задача про банкрутство і її розв'язок

Отже повернемось до задачі ребе Натана. Важливо не просто знайти розв'язок, а зрозуміти принцип, який був би узгодженим з принципом рівного поділу спірної частки.

Розглянемо спочатку середній рядок.

Виберемо будь-яких двох вдов, скажімо першу і другу. Разом вони отримують 125. Чи узгоджується їх поточний розподіл з принципом? Їх вимоги 100 і 200, тобто спірна частка 100, вона ділиться навпіл. Отже за принципом вони мають отримати 50 і 50 + 25 = 75. А це якраз суми, які пропонуються!

Аналогічно можна перевірити і числа для інших гравців. Виявляється, що поділ 50 75 75 є єдиним, узгодженим з принципом справедливого поділу спірної частки. Для інших рядків теж перевіряється, що вони узгоджені з цим принципом.

Загальний принцип поділу

Тепер ми можемо сформулювати загальний алгоритм, який дозволить поділити майно для будь-якої вартості.

Алгоритм. Спочатку гравці отримують однакову кількість аж поки найменший кредитор не отримав половину своєї частки. Після цього він перестає отримувати гроші аж поки всі не отримають по половині того, на що вони претендують.

Якщо вартість майна більша за суму половин боргів, то гроші починає отримувати учасник, чиї втрати найбільші. Як тільки його втрати зрівнялись з втратами другого кредитора, вони починають отримувати гроші на рівних і так далі.

Резонно може виникнути питання — чому половина? Чому кредитор, що отримав половину повинен чекати аж поки всі не отримають свої половини? Одне з припущень полягає в необхідності узгодженості ще з одним принципом Талмуду: Отримати половину — все одно, що отримати все.

Справа в тому, що якщо ви дали гроші під заставу якогось майна і вартість майна є меншою за половину суми позики, то ви не можете розраховувати на гарантоване повернення суми. Така позика дається "на довірі" і все що ви отримаєте в результаті поділу є кращим за те, на що ви можете розраховувати.

Якщо ж вартість майна більша за половину суми, то ви розраховуєте отримати свої гроші, і в цьому випадку все, що ви недоотримуєте є втратою.

Боб Ауман. Нобелівський лауреат з економіки за 2005 рік (разом з Томасом Шелінгом) за дослідження ситуацій конфлікту і кооперації на основі ігрового аналізу.

Існує яскрава фізична інтерпретація цього принципу на основі сосудів, які сполучаються. Отже, сосуди відповідають боргам, кількість води — поточній вартості майна. Розташування сосудів на рисунку показує порядок отримання грошей.

Поки найменший кредитор не отримав половину — всі отримують порівну, отже якщо вартість майна менша за 150, це майно розподіляється на всіх однаково.

Якщо найменший кредитор отримав половину, то він перестає отримувати гроші аж поки його втрати не зрівняються з втратами інших.

Розглянемо випадок, коли вартість майна дорівнює 500:

Спочатку отримують всі по половині боргів 50 + 100 + 150 = 300. Залишається ще 200. Далі борги починають віддавати починаючи з тієї, якій винні найбільше. +50 третій вдові. Після цього третя і друга на рівних отримують борги — +50 + 50. Нарешті залишається ще 50, які діляться порівну між усіма.

Відповідь. 66 ⅔ 166 ⅔ 266 ⅔

Алгоритм легко узагальнюється на будь-яку кількість боржників.

Таким чином, можна вважати, що задача ребе Натана розв'язана. І вона дійсно узгоджується з принципом поділу накидки з іншої Мішни. Єдиний несподіваний момент — Ауман і Машлер використали ідею теорії ігор (нуклеоси), яку придумали аж в 1969 році. Очевидно, що автор задачі майже 2000 років назад мав якісь свої міркування, невідомі нам.

Інші способи вирішення

1. Інший спосіб був запропонований ребе Альфасі і відрізняється тим, що кожна копійка ділиться між кредиторами порівну. Тобто вони отримують гроші на рівних умовах аж поки найменший кредитор не отримає все. Після цього він перестає отримувати гроші. Цей метод поділу самоузгоджений, завжди дає єдине рішення і значно простіший.

Для цього методу таблиця поділу виглядала б так:

2. Ще один спосіб поділу зв'язаний з таким міркуванням. Припустимо кредитор А дійшов до суду перший, а про інших нічого невідомо. Тоді він забирає стільки, скільки йому винні (виходячи з наявної суми). Потім приходить кредитор Б і вибирає гроші з залишку і нарешті останнім приходить В. Зрозуміло, що за такої схеми перші отримають набагато більше, але штука в тому, що ми випишем всі можливі перестановки і усереднимо виграші гравців за ними:

Випишемо всі перестановки для випадку 200.

Загальна таблиця матиме вигляд

Цікаво, що для двох випадків цифри співпадають. Цей підхід є результатом застосування загального принципу, який називається вектором Шеплі (але про нього іншим разом).

Ллойда Шеплі вважають одним з найбільш впливових вчених, що працювали в області теорії ігор. Особливо важливими його ідеї і результати для кооперативних ігор, фактично, його внесок є найвагомішим з усіх. Разом з Алвіном Ротом він отримав Нобелівську премію з економіки 2012 року за стійкі схеми розподілу та їх застосування для аналізу ринків.