Математика, політика та американська конституція

«Від початку світу не існувало іншого способу знайдення співмірності двох чисел як використання найбільшого спільного дільника, перетворення „лишків“ у числа шляхом округлення угору значень більших за 0.5 і округлення вниз значень менших за 0.5; і не може бути ніякого іншого методу. Цей процес є чисто арифметичним… Якщо сотню чоловіків розпанахають від кінцівки до кінцівки або тисячу немовлят розчавлять, цей процес буде мати не більше почуттів з цього приводу ніж айсберг; оскільки наука математика має стільки ж жалю як залізна собака.»

Джон А. Андерсон, 1882 рік.

«Боже, врятуй штат Мен, бо його намагаються знищити ці математики!»

Чарлз Е. Літлфілд, 1901 рік, засідання комітету Конгресу після здійснення нового перерахунку кількості представників від штатів.

Проблема призначення

Конституція Сполучених Штатів Америки в статті першій наголошує, що члени палати представників повинні призначатись від різних штатів відповідно до їх населення.

Також є обмеження, що кожен має представляти не менше ніж 30 тисяч населення, але при цьому кожен штат має отримати принаймі одне місце.

Кожні 10 років має відбуватись ценз, який повинен враховувати зміни у населенні або кількості штатів.

Так виникла проблема призначення кількості місць, тобто пошуку методу, який найкраще задовольняє вимогам конституції. Кількість місць у палаті представників (Конгресі) починалась з 59 у 1789 році, потім поступово зростала відповідно до включення нових штатів (наприклад кількість дорівнювала 105 у 1793 році) і на сьогодні дорівнює 435 депутатам.

Ділити цю кількість потрібно відповідно до населення, тобто штат у якому проживає 10 відсотків населення Сполучених Штатів має отримати 10 відсотків від 435. Однак 435 * 0.1 = 43.5, а призначити половину депутата трохи проблематично. Число 43.5 тут є ідеальною квотою, яку неможливо виконати. Очевидно, що просто округлити квоти штатів неможливо, потрібна якась узгоджена система, яка б гарантовано давала 435 місць і при цьому виконувала вимогу конституції. Починаючи з 1792 року таких пропозицій було досить багато (п'ять обговорювалось, чотири застосовувались) і з кожною виникали певні проблеми. Нарешті прийшли математики і довели теорему про неможливість такої системи в принципі (спойлер: але все таки можна запропонувати достатньо «хорошу» систему).

Перша спроба

Перший метод запропонував Александр Гамільтон (як повідомляє вікіпедія — один з батьків-засновників, видатний діяч і мислитель, перший міністр фінансів)

Метод запропонований Гамільтоном був дуже простим:

1. Округлити всі квоти до найменшого цілого. В результаті залишається певна кількість не занятих місць.
2. Далі починаємо роздавати ці місця штатам відповідно до розміру дробової частини їх квоти — спочатку тому, хто має найбільшу і т.д.

Наприклад, для уявної країни розподіляємо 100 місць (приклад зі статті [1]).

Метод Гамільтона.

Начебто все в порядку, але виявляється, що метод Гамільтона спричиняє численні проблеми і парадокси.

Припустимо, що зростає кількість місць у Конгресі. Що ми очікуємо від системи призначення? Ну, очевидно, що місця, які виділяються кожному штату можуть зростати, або не змінюватись. Але випишемо місця для штату H залежно від кількості:

Саме це сталось зі штатом Мен після цензу 1900 року і спричинило обурений вигук з епіграфу. Цей парадокс (його ще називають парадоксом Алабами або парадоксом представників) характерний для методу Гамільтона і є одною з головних причин його заміни, але не єдиною.

Інша проблема - парадокс населення, ситуація, коли штати, у яких населення зростає швидко - втрачають місця, а штати, які зростають повільніше — отримують.

Нарешті останній парадокс, який виникає для методу Гамільтона це парадокс нових членів. Припустимо, що новий штат J з населенням 604,642 приєднується, за правилами конституції для нього виділяється кількість місць, яка відповідає його населенню. До його приєднання кожне місце з 100 відповідає 46887.82 населення. Тому штат J має отримати 604,642 / 46887.82 = 12.89, тобто 13 місць. Отже Конгресу додається 13 місць і після цього запускаємо метод Гамільтона.

Виходить, що приєднання нового штату зменшило кількість представників штату H, а в чому він тут винуватий?

Чекайте, так, а є хоч якась хороша властивість методу Гамільтона? Ну окрім простоти для нього завжди виконується властивість квоти. Якщо у штату ідеальна квота. наприклад, 3.67, то логічно, що він має отримати або 3 або 4 місця. Ця властивість і називається властивістю квоти.

Метод Гамільтона був оформлений у закон і був проголосований, але потім заветований Президентом в 1792 році (не ким-небудь, а самим Джорджем Вашингтоном) і став першим законом в історії США, до якого було застосовано право вето. Формальна причина полягала у тому що для деяких штатів він давав більшу кількість представників, що порушувало умову: одне місце не менш як 30 тис населення. Однак у 1850 він був повернутий до життя, та використовувався наступні 40 років.

Наведені парадокси є відображенням порушення властивостей, які б ми хотіли для хорошої системи призначення. Ось ці властивості (вони здаються очевидними):

1. Монотонність за представниками. Якщо населення кожного штату не змінюється і кількість представників зростає, жоден штат не повинен втратити місце.
2. Монотонність за населенням. Неможлива ситуація, коли у штаті збільшується населення і при цьому зменшується кількість представників, в той же час інший штат втрачає населення та збільшує кількість представників.
3. Властивість квоти: штат має отримати кількість представників, яка відрізняється від його ідеальної квоти не більше як на 1.

Дівізорні методи

Відразу після появи методу Гамільтона його головний політичний суперник Томас Джефферсон запропонував контрпропозицію — метод Джефферсона.

Метод Джефферсона починається з вибору певного цілого числа, яке називається дівізором (дільником) і означає бажаний розмір населення кожного «Конгрессного району». Тепер призначимо кожному штату одне місце у Конгресі за кожен район, тобто розділимо населення штату на розмір району і округлимо вниз до цілого числа. Якщо сумарна кількість місць за усіма штатами вийшла рівна потрібній кількості місць у Конгресі - вуаля! Якщо вийшло менше число, то треба збільшити розмір району і повторити, якщо вийшло більше, то треба зменшити розмір району і повторити. Загалом відомий метод «іноді виходять кораблики».

Але з практичної точки зору не все так погано, крім того, для всієї групи дівізорних методів виконуються властивості монотонності за населенням і представниками, але не завжди виконується властивість квоти.

Метод Джефферсона переміг у 1792 році і використовувався наступні 50 років. Однак виявилось, що його недолік полягає у систематичному зміщенні в сторону великих штатів. Дійсно, округлення вниз для великого штату з 49.9 до 49 позбавляє його 2% ідеальної квоти, в той же час округлення з 4.9 до 4 позбавляє маленький штат вже біля 20% того, що йому призначено конституцією! (Сам Джефферсон представляв великий штат Вірджинія. Цікаво, що метод Гамільтона навпаки — дискримінував Вірджинію, але давав більше місць його рідному невеликому Нью Йорку).

Приклад. Ділимо 10 місць для 3 штатів

Як ви розумієте коли в Конгресі біля 50 депутатів, голос кожного може мати велику вагу, тому у 1830 році представник маленького Масачусетса Джон Квінсі Адамс

запропонував зміну — давайте округлювати не вниз а вгору! Метод Адамса дискутувався, але не був прийнятий як закон з тієї самої причини — він систематично давав більше місць маленьким штатам.

Врешті решт конгресмен Даніель Вебстер запропонував безжальну «золоту середину» :

давайте округлювати у відповідності з правилами математики, до найближчого цілого.

Перша цитата з епіграфа стосувалась саме цього методу. Метод Вебстера був принятий у 1840 році але вже у 1850 замінено на метод Гамільтона. Пізніше цей метод знов застосовувався у 1910 та 1930 році (ценз 1920 року визнаний таким, що не відбувся). Здавалось, що ще можна придумати, але у 1929 Едвард Хантингтон, професор математики з Гарварду запропонував ідею округлення відповідно до геометричного середнього.

Справка: геометричне середнє чисел А і Б дорівнює кореню квадратному з їх добутку. Наприклад для чисел 2 і 3 геометричне середнє дорівнює приблизно 2.45, а для 1 і 10 приблизно 3.16.

Едвард Хантингтон

Причини появи цього методу досить курйозні. У 1911 році Йозеф Хілл, головний статистик бюро, яке завідувало цензом запропонував принцип, якому, на його думку, має задовольняти хороший метод призначення. Його головна ідея була — максимально зменшити відносну відмінність кількості людей, яка відповідає одному місцю для різних штатів. Наприклад, в одному штаті місце призначається на 1.50 мільйони населення, а в іншому на 2 мільйони. Абсолютна різниця 500 тис., але відносна — 0.5 / 1.5 = 33.33%. Принцип Хілла полягає у зменшенні цієї різниці при розподілі місць. Хантингтон показав, що метод геометричного середнього, на відміну від інших, відповідає принципу Хілла.

Свій внесок також додала Американська Академія Наук. В 1929 році чотири математики світового рівня [2] написали звіт, який рекомендував метод Хантингтона-Хілла. На основі цієї доповіді у 1941 році Конгрес приймає метод на постійній основі, але у 1948 році замовляє додаткове дослідження у таких зубрів математики як Марстон Морс, Джон фон Нейман і Лютер Ейзенхарт. Вони підтвердили доповідь 1929 року, хоча останнім часом стали з'являтись думки (детально описані у статті [1]), що великі математики, у яких було дуже мало часу, трохи схалтурили і просто повторили попереднє дослідження, тим більше, що Лютер Ейзенхарт був одним з авторів попереднього звіту.

Порівняння методів

Розглянемо на прикладі різні методи і де вони відрізняються.

Пізніше виявилось, що і метод Хантингтона-Хілла не позбавлений парадоксів.

Парадокс міграції

351 000 мігрувала з одного штату в інший, але в результаті штат А отримав додаткове місце в Конгресі?!

Зауважимо, що це не дефект саме цього методу, таке може трапитись і в інших методах також.

Нарешті фіналом суперечок про найкращий метод призначення став результат, отриманий Янгом і Балінскі [3].

Теорема про неможливість і її наслідки

Загадаємо три властивості, які ми вважали бажаними для методу призначення. Виявляється, що не існує методу, який би забезпечував всі три властивості. Навіть більше, не існує методу, який би давав властивість квоти та монотонність за населенням. Тобто, потрібно змиритись з думкою, що будь-який метод буде вразливий до деяких парадоксів і, можливо, порушувати квоту.

Питання, яке природно виникає: який метод найкращий? Аргументи були отримані за допомогою комп'ютерного моделювання, яке показало, що метод Вебстера краще за метод Хантингтона-Хілла принаймі у таких аспектах:

1. Ймовірність порушення квоти для методу Вебстера 1 на 1640 призначень, тоді як у метода Хантингтона-Хілла 1 на 350.
2. Метода Хантингтона-Хілла зміщений на 3.5% на користь малих штатів, в той же час метод Вебстера є єдиним незміщеним методом з усіх.
3. У середньому метод Вебстера дає менше відхилення від ідеальної квоти ніж метод Хантингтона-Хілла.
4. Метод Вебстера більш простий і логічний.

Отже, метод Вебстера є найкращим з наявних, але навряд чи Конгрес буде змінювати правила заради красоти математики і відхилення у 3.5%.

Джерела

1. Park, Efton (2000) "The Mathematics of Apportionment," The University of Chicago Law School Roundtable: Vol. 7: Iss. 1, Article 9. Available at: http://chicagounbound.uchicago.edu/roundtable/vol7...
2. G.A. Bliss, E.W. Brown, L.P. Eisenhart, R. Pearl, Report to the President of the NationalAcademy of Sciences 21-3 (1929).
3. M.L. Balinski and H. Peyton Young, The Apportionment of Representation, 33 Proceedings of Symposia in Applied Mathematics 1, 25 (1985).