Abstract
О пользе частых переездов, бабочках-вредителях и проблемах с предсказуемостью тупого стада (да-да, об избирателях речь)
Главная особенность квантовых бабочек заключается в их способности управлять погодой. Предполагается, что эта способность развилась у них в процессе естественного отбора — даже самая изголодавшаяся птица не позарится на кормежку в виде локализованного торнадо. Однако впоследствии эта приспособительная черта превратилась во вторичный половой признак, привлекающий внимание самок, вроде плюмажа у птиц или горлового мешка у некоторых видов лягушек.
(с) Терри Пратчетт «Фауна Плоского Мира»
Илья Романович Пригожин был вторым сыном преподавателя химической инженерии Императорской Московской Технической Школы, владельца лакокрасочного предприятия, выходца из Могилёва Рувима Абрамовича Пригожина и пианистки Юлии Лейвиковны Вихман, и ему готовилась великая участь... не родись он за несколько месяцев до Великого Октябрьского Социалистического Переворота. Поэтому его великая участь стала совсем другой – и я ему за это благодарен.
Когда Илье было 4 года, его семья по вполне понятным причинам дала дёру из страны победившего социализма в Каунас (на тот момент столицу независимой Литвы), а потом в Берлин. В Германии тогда евреев любили куда меньше, чем в Совдепии, но фабрикантов в Москве расстреливали явно быстрее. В 1929-м волна антисемитизма вынесла семью Пригожиных ещё дальше на запад, в Брюссель, где Илья и поступил в Брюссельский Свободный Университет... опять-таки в недобрую годину: заканчивать его пришлось в 1941-м, под жизнерадостно реющую свастику в белом круге да на красном фоне.
Краткие биографии обходят вниманием вопрос, как русскому еврею в оккупированной нацистами Бельгии удалось не только выпуститься из университета, но и защитить докторскую. Видимо, Бельгии повезло, и там не было своего Зейсс-Инкварта. Так или иначе, в 1945-м он становится профессором всё того же Свободного Университета и вскоре начинает одна за другой выдвигать идеи, которые в конечном счёте и сделают его нобелевским лауреатом.
Скажите, чем-то Подера напоминает
Пригожин одним из первых обращает внимание на то, что увлечение равновесными системами привело термодинамику в тупик. Нет, оно-то полезно и практично, однако далеко не все процессы (а по правде, меньшинство) происходят в условиях равновесия. Наоборот, вокруг постоянно что-то течёт и меняется, все куда-то переезжают, войны всякие – никакой гармонии, в общем.
Статью Тьюринга 1952-го года Илья, в отличие от многих других, не просто прочитал, но и воспринял очень серьёзно. Сходные математические идеи для описания неравновесных систем есть и у него самого; он предлагает отказаться от глобальной трактовки второго начала термодинамики и перейти к его локальной интерпретации: то есть обращать внимание лишь на увеличение энтропии при элементарных процессах.
На основании работы Тьюринга он создаёт свою модель, называемую «брюсселятором» ("брюссельским осциллятором"), развивающую подход на тот момент уже покойного британского гения не только на 3-мерное пространство, но и на многокомпонентные системы (скажем, систему реакций). Пригожин становится признанным экспертом и человеком, широко известным в узких кругах, но для обычной публики по-прежнему ничего не меняется. Так, очередные выдумки профессоров.
С публикацией работы Жаботинского по колебательным реакциям всё становится совсем иначе. Ведь идеи Пригожина не просто объясняют, почему системы осциллируют, они ещё и делают это количественно, то есть предсказывают размах и масштаб проблем.
Вкратце и очень популярно идеи Пригожина для неравновесных процессов выглядят так.
Мы говорим о диссипативных системах, то есть таких, которые не просто имеют внутреннюю энергию и с того счастливы – нет! – они постоянно поглощают её извне и рассеивают (диссипируют). Именно этот (полу)вечный бег по лезвию бритвы – поглотить чтобы тут же отдать – и является основополагающим для наших объектов.
Никто на второй принцип термодинамики не покушается. Энтропия в целом всё равно увеличивается. НО! Это вовсе не означает, что энтропия должна равномерно увеличиваться на всём протяжении системы. Более того, в произвольно выбранном участке пространства энтропия может даже уменьшаться (просто это уменьшение компенсируется увеличением где-то в смежной части)!
В общем, со вторым принципом термодинамики всё ОК. Проблемы с принципом детального равновесия, который, скорее, является исключением, чем правилом.
Итого, мы должны смириться с тем, что в потоке энергии, при некоторых элементарных взаимодействиях между элементами системы и наличии разности потенциалов могут возникать долгоживущие структуры. Именно тот порог, после которого такое становится возможным, и отделяет сложные системы от простых.
Для описания таких систем вводится понятие стабильного аттрактора (на всякий случай уточню, что есть и другие виды аттракторов, скажем, хаотичный, или нестабильный, или странный... но об этом потом). Аттрактор – от attract, привлекать – это такая кривая в фазовом пространстве, которая описывает бесконечно крутящуюся вокруг некоторой "стабильной точки" или "стабильной кривой" систему. В принципе, её тянет "схлопнуться" в эту самую точку, но энергия, которая постоянно прибывает извне, позволяет ей и дальше крутиться по приблизительно той же орбите. Пока не закончится приток энергии. Или не изменятся параметры системы (всё возможно).
Слева – точечный аттрактор, справа – круговой
Собственно, этого уже достаточно, чтобы описать явления и в ячейках Бенара, и в реакции Белоусова-Жаботинского. По крайней мере, на пальцах (надеюсь, вы не будете требовать от меня математических выкладок?).
У нас есть поток энергии: нагрев в случае конвекции, химическая энергия взаимодействия в случае реакций БЖ. У нас есть "короткие взаимодействия": межмолекулярные связи и энергия элементарных реакций, соответственно. У нас есть достаточно большая система, чтобы в ней смогли самозародиться структуры.
Всё.
Мы уже можем описать работу неравновесных систем. Мы можем понять то, чего не понимали до середины XX-го века.
Что ж, мы счастливы?
Как бы не так!
Вы помните, в первой части статьи я упомянул, что у учёных XIX-го века была шикарная отмазка: я бы посчитал вам всё, да рука отсохнет арифмометр крутить? Так вот, уже в 50-х годах прошлого столетья стараниями всё того же Тьюринга, а заодно Джона фон Неймана и Норберта Винера, у учёных появилась крутая игрушка, способная заменить десять тысяч китайцев со счётами – компьютер!
Прежде, чем человечество додумалось использовать эти ресурсы для расчёта траекторий снарядов в "Танчиках", некоторые несознательные личности эгоистично тратили это ценное процессорное время на научные, а порою даже очень практические задачи.
Но тут их поджидал облом із усмішкою хижой.
К примеру, тихоокеанские рыболовы заказали яйцеголовым предсказать пути миграции косяков сельди по океану. Ну, типа, чтобы я не рыскал вслепую и не жёг топливо, а засёк стадо сырой селёдки у, скажем, Британской Колумбии, идущее курсом зюйд-зюйд-вест – и знал, где нам его ловить через день? У вас же компы мощные, теория есть – считайте.
Учёные взялись за задание с энтузиазмом. Ибо что может быть проще селёдки?
Главное, что нужно запомнить о селёдке: селёдка – тупая.
У неё есть аж три жизненных правила:
1. Плыви туда, куда плывут все.
2. Впереди препятствие – огибай.
3. Впереди опасность – поворачивай.
И пока у нас по морю-океану рассекает одна рыбина, она до зевоты предсказуема. Две – тоже. Три... ммм... иногда начинаются приколы. Десять – и капец, мы уже не предскажем траекторию движения косяка на день вперёд. Сотня-другая – и можно забыть о предсказательной способности вообще. Никогда не угадаешь, где какая тень покажется случайно оказавшейся во главе толпы рыбине заходящим на атаку альбатросом. Не просчитаешь, повернёт ли 99% хомячков за паникёром на 180° или решит двигаться дальше своим курсом.
Да, и подчёркиваю, у селёдки нет никакой иерархичности. Нет "ведущего" и "ведомых". Нет вожака. Кто случайно оказался впереди – за тем и пиляем.
И проблема вовсе не в расчётной мощности проца. Просто мы не можем предсказать все случайности.
Подобные примеры начали сыпаться на бедных учёных (уже пропивших гранты на предсказание будущего) со всех сторон. Тут тебе и социология (привет выборам), и предсказание биржевых курсов (привет ФОРЕКСу), и ядерная физика (привет, термоядерный синтез). Но больше всех, конечно же, отличились метеорологи. Настолько, что прочно и безальтернативно вошли даже в мировую поп-культуру.
Предсказание погоды – это устойчивый мем для чего-то расплывчатого, наряду с "вилами по воде" и "вот сразу после выборов". Но американский метеоролог Эдвард Лоренц был молод и полон энтузиазма, за что и вошёл в историю... правда, вовсе не оттого, что добился успеха в работе.
Его логика была проста. Движение воздушных масс в атмосфере – это всего лишь частный случай задачи на газовую динамику, только в тонком сферическом слое да ещё и под действием гравитации, из-за чего возникает неоднородность: более тяжёлые слои будут опускаться ниже к земле. Газовые потоки имеют разную температуру и вязкость, при разных условиях они способны то на ламинарное ("слоями"), то на турбулентное ("вихрями") движение. Всё это описывается дифференциальными уравнениями (теми же, что и для жидкостей в гидродинамике), не самыми простыми, но решаемыми численно. А уж при помощи компьютера...
Ну, вот Лоренц взял и решил эти уравнения.
Очень простая система уравнений, честное слово. Два уравнения – для движения газа в тонком слое. Третье – для вертикального движения газа в гравитационном поле.
σ – параметр, пропорциональный числу Прандтля (константа, связывающая кинематическую вязкость и характеристическое теплорассеяние... ну, или динамическую вязкость и теплопроводность... в общем, оно определяет склонность вещества передавать тепло через механизм теплопроводности или через конвекцию), ρ – параметр, пропорциональный числу Релея (определяет склонность жидкости переходить от ламинарного к турбулентному потоку при нагревании). β – комплексная характеристика поверхности, над которой происходит движение (грубо говоря, шероховатость). x, y, z – внезапно, координаты, зависимые от времени t.
Точнее, он решил их для одного набора параметров (вязкости, теплопроводности и грубости поверхности). Слегка изменил параметры – и получил совершенно другое решение! В терминах метеорологии это означало, что солнечная погода и ураган отстояли друг от друга на расстоянии мельчайшей, непредсказуемой детали. Например домохозяйка, открывшая кастрюлю и выпустившая перегретый пар в атмосферу, могла, сама того не зная, изменить погоду в соседнем штате на ближайшие несколько дней.
Лоренц удивлённо поднял брови и начал составлять зависимость траектории от параметров. Получилось нечто вот такое.
Это и есть знаменитая "бабочка Лоренца"
Если присмотреться, то мы видим два стабильных цикличных аттрактора, как, скажем, в реакции БЖ, но их "входные точки" находятся очень близко в фазовом пространстве. Та точка, в которой находится "развилка", называется точкой бифуркации. Малейшее колебание в её районе определяет, закрутится система по "правому" или по "левому" циклу, причём делает это необратимо (в смысле, если ты через долю секунды дашь толчок с той же энергией в противоположную сторону, то это уже ничего не изменит – поздно, поезд ушёл). Так же радикально влияет на результат и мельчайшее изменение тех самых трёх параметров, о которых шла речь выше. А есть и такой набор параметров, при котором точка будет постоянно переходить из одного "бассейна" в другой.
Траектории в аттракторе Лоренца при разных значениях параметра ρ
Лоренц назвал такой аттрактор странным, а заодно сочинил знаменитую метафору о бразильской бабочке, чей трепет крыльев способен вызвать ураган в Техасе. (На самом деле нет, не способен. Но метафора оказалась живучей).
Вот хорошее видео, иллюстрирующее и режим бистабильности, и режим хаоса
Аттрактор Лоренца является простейшим из странных! В нём всего две ноды (бассейна) и одна точка бифуркации. А есть и такие, в которых этих нод – бесчисленное количество, да и "развилки" чуть ли не сливаются в одну сплошную линию. Есть и вариант "вложенных" странных аттракторов, когда поведение большего из них зависит от выбора внутри меньшего, являющегося его составной частью (см. фрактал).
В общем, Лоренц, стремясь предсказать погоду, развязал мешок со всеми ветрами и устроил бурю. Но здесь мы оставим эту историю для другого раза (или для другого автора, как знать) и вернёмся к первоначальной теме – понятию сложности.
продолжение следует ЗДЕСЬ
