Список математичних ідей дещо за межами шкільної програми, які мала б знати сучасна освічена людина
Де почитати — та хоч вікіпедію (українською з більшості тем все одно більше нічого не почитаєте). Навіщо — та хоча б щоб правильно вживати різні розумні слова. Порядок ідей довільний. Для розуміння всіх цих ідей достатньо знань з шкільної програми.
-
Що таке числа, звідки вони взялися. Що таке нуль і чому люди так довго не могли до нього додуматися. Різні системи запису числа, і що таке і звідки система, якою ми користуємось. Які бувають числа, як ми здійснюємо обчислення і чому комп'ютер може порахувати 0,2+0,3=0,5004.Чому ми не можемо точно поміряти, наприклад, площу кімнати. Що таке порядок числа і що означає «на порядок більше». Правила порівняння чисел. Історичні системи запису чисел.
-
Що таке дроби. Раціональні та дійсні числа. Чому не можна розв'язати задачу квадратури круга і що таке трансцендентні числа. Відсотки, депозити, кредити, число е і логарифми. Пропорції. Фінансові піраміди. Чому навіть участь в фінансовій піраміді по суті шахрайство, а в лотереї — ні. Чому добуток двох від'ємних чисел — додатне число. Навіщо потрібні уявні числа. Найкрасивіша математична формула — є в степені і пі дорівнює мінус одиниці.
-
Чи можна гарантовано виграти в лотерею? Як збільшити ймовірність виграшу? Математика генетики, блакитні та карі очі у дітей.
-
Просто краса чисел — прості числа, числа Фібоначчі, золотий переріз. Трикутник Паскаля, алгоритм Євкліда. Магічні квадрати.
-
Що таке алгоритми і що таке машина Тьюринга. Як з математики народились комп'ютери. Математична логіка та двійкова система числення.
-
Як математики вивчають реальність. Що таке математичне моделювання і як верифікують моделі. Абстрактна та практична математика. Як математика пов'язана з фізикою.
-
Геометрія — паралельні та перпендикулярні прямі. Чи можуть дві прямі не бути паралельними і не перетинатись. Трикутники, многокутники, розбиття площини та паркети. Площа, периметр, коло, круг та число пі. Дотичні, сектори та сегменти.
-
Симетрія та краса. Симетрія та еквівалентність. Симетрія в геометрії та в теорії чисел. Орнаменти та кристали. Мозаїки Пенроуза.
-
Множини, парадокс Расселла, теорема Гьоделя про неповноту. Що таке аксіоми та теореми, що таке довести теорему. Хто такий Євклід і що саме зробили Лобачевський та Бойяї з Гаусом.
-
Елементарна криптографія — хоча б шифр Цезаря та прости шифри заміни — і чому це неефективно. Що таке хороший шифр. Шифрувальні машини та історія шифрів
-
Фрактали та самоподібність. Ну просто щоб не називати фракталами що завгодно. До чого тут хаос, та чому хаос та випадковість то різні речі. Чому не можна передбачити погоду і точно виміряти довжину берегової лінії.
-
Знову ж таки про випадковість. Теорема Байєса як одна з основ критичного мислення. Чому власний досвід не є доказом загальних закономірностей. Парадокс днів народження та парадокс Монті Голла. Статистика та нормальний розподіл.
-
Букви та змінні в математиці. Що таке рівняння, формули та вирази. Алгебра — звідки вона взялась і як нею користуватись. Квадратні рівняння. Кубічні рівняння — що там складного і чи потрібно їх вивчати? Галуа і можливість розв'язання рівнянь вищих ступенів.
-
Вимірювання часу та простору. Календарі та відстані між містами. Чому нумерологія на основі маніпуляцій з цифрами дат — псевдонаука. Вимірювання освітленості, магнітуди землетрусів, відстаней до зірок та радіусу Землі. Як точно поміряти радіус землі домашніми засобами. Як поміряти висоту дерева (і до чого тут знову фрактали).
-
Чому математика невичерпна і не завершена. Наче прості задачі, які до цього часу нерозв'язані, і наче прості задачі, які були розв'язані дуже нещодавно. Теорема Ферма — що це таке і чому цікаво. Чому теорему Ферма не можна довести методами шкільної алгебри, і як можна застосувати її доведення.
-
Що таке топологія, чому бублик не еквівалентний сфері і що таке стрічка Мьобіуса.
-
Розмірності. Що таке розмірність простору, багатовимірні простори і нецілі розмірності (це знову про фрактали).
-
Що таке швидкість, як її вимірюють і навіщо знати про швидкість зміни швидкості. Що таке похідні та інтеграли, і про що сперечались Ньютон з Ляйбніцем.
-
Теорія ігор. Чому не можна програти/виграти в хрестики-нулики 3х3, якщо жоден учасник не робить помилок. Що таке гра з нульовою сумою. Дилема в'язня. Рівновага Неша.
-
Математика спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца. Парадокс близнюків.
-
Складність обчислень та задача комівояжера.
-
Теорія графів та комбінаторика.
-
Координати, діаграми та графіки.
-
Нескінченність, границі, парадокси нескінченності. Історії про нескінченний готель та нескінченну кількість гостей. Арифметична та геометрична прогресії.
-
Біологічна математика — експоненційне зростання, хижаки та жертви (рівняння Лотки-Вольтерра).
-
Математика карт, картографічні проекції. Як люди вимірювали поверхню Землі. Тріангуляція. Коли треба враховувати форму Землі та ефекти теорії відносності.
-
Математика прийняття рішень, оптимальність.
