Abstract
О левой резьбе у правой гармоники, пятнистых кошках и бурлящих котлах
В Хаосе время от времени встречаются по-настоящему классные узоры, которые здорово смотрятся на футболках!
(с) Терри Пратчетт «Ведьмы за границей»
Вашему вниманию предлагается статья, которая в девичестве была лекцией для старшеклассников, специализирующихся на естественных науках (в первую очередь химии). Простите меня, грешного, что я не менял способ подачи материала. Надеюсь, что слайды и текст, ориентированные на подростков, не оскорбят более широкую публику.
Мы часто используем слова «просто» и «сложно», подразумевая, что их смысл самоочевиден, не требует отдельных объяснений. На самом деле это настолько далеко от истины, что расстояние это невозможно измерить.
Сложность – это физическое понятие, у которого есть определённый смысл и – важно! – своя область применения. Не обо всём можно сказать, что оно сложное или простое, зачастую такая характеристика будет бессмысленной. О том, что такое сложность, как её понимать и применять, я попытаюсь объяснить простыми словами, «на пальцах» и без формул (шучу, формулы будут, но только в виде иероглифов, которые я буду интерпретировать в текстовом виде).
Итак, мы начинаем нашу историю в конце XIX-го века. Джеймс Кларк Максвелл уже сформулировал понятие об электромагнитном поле, а Генрих Герц перевёл его на человеческий язык (в смысле, записал формулы так, чтобы их смогли понять даже студенты). Рудольф Клаузиус уже придумал второе начало термодинамики, внимательно на него посмотрел и в ужасе заорал «Через 103000 лет мы все умрём от обморожения!!!» – а тем временем Джозайя Уиллард Гиббс и Людвиг Больцман без устали уточняли формулировку, филигранно доказывая, что может всё ещё обойдётся, надо просто подождать. Альфред Нобель уже перечитал ложный некролог о своей смерти и понял, что его благородная идея создать настолько страшное оружие, что люди побоятся воевать, провалилась. А молодой студент Макс-Карл-Эрнст-Людвиг Планк слышит от своего научрука в Мюнхенском университете сакраментальную фразу: «Зря вы идёте в физику, здесь уже делать нечего».
В общем, физическая картина мира была понятна и интуитивно доступна. В механике царит набор законов Ньютона-Лапласа: движение тел подчиняется правилам сохранения; всё, что нужно знать для предсказания будущего – это начальные импульсы объектов. Движение тел в пределах Солнечной системы объясняется простой и наглядной механической моделью – Orrery (см. рис.; краткого перевода в русском языке нету).
Солнечная система – это просто набор шестерёнок и передач!
Но что за энергия движет шестерёнками?
Термодинамика дала ответ и на этот вопрос. Всё дело в разности потенциалов. Любой набор материальных объектов обладает внутренней энергией, обусловленной внутренней структурой и попарным взаимодействием между элементами. Энергия перетекает из одной системы в другую, совершая при этом работу. Ну, часть, конечно, теряется – это плохо, это энтропия, но ничего с этим не поделаешь (конечно, есть способ компенсировать и энтропию, но всё равно остаёшься в проигрыше).
Всё в мире ухудшается
Описываются эти процессы статистикой большого канонического ансамбля, через большой термодинамический потенциал, зависящий только от независимых параметров вроде объёма системы, температуры, количества вещества и химического потенциала.
Важнейшая предпосылка для решения этих уравнений – принцип детального равновесия, который гласит, что в каждый момент времени в каждой точке все компоненты системы находятся в равновесии, и скорость установления этого самого равновесия настолько велика, что неравновесными состояниями можно пренебречь.
Для химических процессов, к примеру, это выражается такой вот общей формулой (стрелочка неправильная, но не бейте меня, нет в сетях символа «туда-обратно»):
K= [C][D]/[A][B]
для равновесных концентраций в реакции
A + B ↔ C+ D
Типа, если чего где убудет, в другом месте столько же и прибавится. Вот такая вот воплощённая Гармония.
Впрочем, оставалась проблема «Изначального Импульса», которую каждый решал в меру своей распущенности.
Например вот так
Красивая, целостная картина мира. Всё можно посчитать – было бы время и желание. Напомним, что это был мир учёных с листком бумаги и перьевой ручкой. Даже арифмометры ещё были не в ходу. Поэтому вопрос: «Так почему же ещё не посчитали?» – отметался очевидным: «А кто и когда это будет делать?».
Где-то в таком состоянии классическая физика (мы молчим о квантах – там в параллельной реальности происходила своя заруба) и пребывала аж до середины XX-го века.
Пока в 1949-м году Алан Тьюринг (справа) не задался вопросом: почему у леопарда (слева) такие разные пятна?
Точнее, они разные или одинаковые?
Не, ну таки разные или одинаковые? Нет, вы таки дайте ответ!
Если одинаковые, то почему кажутся разными?
А если разные, то почему их можно однозначно отнести к одному типу объектов?
И вообще, чем определятся форма пятен у животных? Это случайность? Или детерминированные события? Если взять двух абсолютно идентичных (в идеале) котят – появятся ли у них при взрослении одинаковые наборы пятен?
Напомню, что оставалось ещё несколько лет до того, как Уотсон и Крик откроют рабочий журнал Розалинды Франклин структуру ДНК и вскричат: Вот он, материальный носитель наших зловредных наследственных признаков! Генетика ещё не восторжествовала, и теории самопроизвольного возникновения признаков из-за схожести условий (конвергенция) активно обсуждались учёными, к числу которых принадлежал и Тьюринг.
Если Алан Тьюринг более известен вам как математик и создатель теории компьютеров (и, в частности, искусственного интеллекта), то не удивляйтесь, все эти вопросы тесно связаны, и мы в этом сейчас убедимся.
Тьюринг ставил вопрос куда более широко: могут ли из однородной среды возникать стабильные во времени и пространстве структуры? Если да, то как и почему?
Правда, леопарды оказались слишком сложным объектом, поэтому Алан переключился на близких для сердца и непосредственного наблюдения британских коров.
Вам слабо описать корову формулой? А Тьюринг смог!
Ситуация тут какова? Когда телёнок ещё формируется в утробе матери-коровы, в одни клетки его кожи поступает пигмент (или начинает там вырабатываться на месте), а в другие – нет. Какой фактор определяет, будет клетка окрашенной или нет? Клеток миллионы – неужели для каждой из них «запрограммирован» цвет?
Добро бы ещё этот процесс был полностью случайным – но тогда окрашенные и неокрашенные клетки были бы гомогенно перемешаны, что давало бы монотонные окрасы: серый, бурый, рыжий – но никак не пятна. А у нас получается процесс с одной стороны случайный, а с другой – нет.
И Тьюринг поставил вопрос радикально: можно ли описать образование стабильных неоднородных пространственных структур (паттернов) из абсолютно гомогенной среды при помощи малого количества простых математических операций (каждое слово здесь очень важно)?
Его ответ был – да, можно.
Набор формул получился простым и изящным.
Поверьте, это очень простая система. Чуть ниже вы увидите, что такое реальный срыв мозга от математиков
Две переменных (потому что на плоскости). Три параметра. Две константы. И вуаля! – у нас всё богатство пространственных форм на поверхности.
Что особенного в этих уравнениях? А то что они 1) зависят от времени и 2) переменная u зависит от v и наоборот (переменные являются неразделимыми), т.е. наличествует пресловутая обратная положительная связь. И даже малые изменения параметров приводят к колоссальной разнице в получившихся структурах.
А вот и паттерны, полученные Тьюрингом при разных значениях параметров. Заметьте, какое разнообразие? И всё из двух уравнений
В отношении коров эти уравнения и картинки означают, что малейшие колебания параметров тела, выраженные коэффициентами a, b, c могут привести к развитию «фронта» окраски в разные стороны и с разной интенсивностью. Аналогичный процесс у леопарда будет характеризоваться другими изначальными значениями коэффициентов, что приведёт к образованию колечек (средняя картинка слева), а не сплошных пятен (нижняя картинка слева), ну а мелкие колебания этих параметров дадут разные размеры и «законченность» колец.
Что ещё более важно, этот же набор уравнений описывает процессы куда более разнообразные, чем окрас разных животных. Тьюринг показал, что сложные структуры могут возникать из однородной среды. Не обязательно иметь «зародыш», «организующее начало» или «программу действия»: несколько очень простых правил, которые действуют только локально – и нечто невообразимо сложное может возникнуть само!
К примеру, вот это развитие грибковой культуры в чашке Петри
А это изменение окраса рыб (слева эксперимент, справа моделирование)
ниже вообще срыв крыши. Попробуйте угадать, что где (ответ под картинкой) :)
Слева и по центру – колонии грибов, справа – двухрукавная спиральная галактика
Тьюринг публикует результаты в 1952-м году [Turing AM, "The Chemical Basis of Morphogenesis", Philosophical Transactions of The Royal Society of London, series B, 237:37–72, 1952] и получает в ответ... полный игнор. Статью читает от силы несколько десятков человек в мире, понимает – и того меньше. «У Алана какие-то очередные фантазии».
В отличие от Ньютона, привлекшего внимание комиссии по улучшению качеств английских яблок, Тьюрингу повезло меньше, и его работа не заинтересовала ни молокозаводчиков, ни представителей галантерейной промышленности. А через полтора года он покончил с собой (это трагическая и поучительная история, которую стоит регулярно напоминать иным любителям «традиционных ценностей»(тм)), и о его идеях надолго забыли.
Но, если время открытий пришло, то остановить их не может даже садовник с берданкой. И явления, описанные математически Тьюрингом постоянно «всплывали» то в одной, то в другой области науки.
Ещё в 1900-01 годах Анри Бенар, молодой аспирант Марселя Бриллюэна (отца знаменитого Леона Бриллюэна, классика диффрактометрии), издал ряд статей, описывающих странные структуры, возникавшие при нагревании вязких жидкостей в плоской посуде.
В узком диапазоне температур (верхняя и нижняя границы зависели от вязкости и теплопроводности) жидкость начинает циркулировать в пределах маленьких «цилиндров-гексагонов», причём направление движения у соседних ячеек «сцеплено», как в шестерёнках: если одна крутится справа налево, то соседняя – слева направо. Никаких предрасположенностей к образованию границ между ячейками в жидкости нет. Если её охладить (или перегреть), а потом нагреть (охладить) обратно, то ячейки возникнут совершенно в других местах.
Иными словами, мы можем наблюдать самое что ни есть присущее жидкостям свойство самоорганизации. Обратите внимание, оно опять-таки динамическое (а не статическое), неравновесное (происходит при нагревании или охлаждении) и основано на «противоборстве» двух сил: гравитации и архимедовой силы.
Ячейки Бенара и их схематическое изображение
А теперь в реальном времени!
Анри Бенар (Henri Bénard 1874–1939)
Но есть в этом явлении и одна очень важная контринтуитивная деталь, которая для первооткрывателей казалось просто какой-то непонятной хренью, а человеку с современным образованием кажется совершенно нелогичной. Мы-то знаем (ведь знаем, да?), что молекулы в жидкости не просто притягиваются или отталкиваются случайным образом – они при этом образуют недолговечные формации, чья структура зависит от симметрии молекул (для воды – определяемой системой водородных связей, а в случае, скажем, алканов – неспецифическим электромагнитным взаимодействием). Но вот беда, эти взаимодействия являются короткодействующими: их расстояние – порядка нескольких ангстрем, то есть на 8 порядков (!!!) меньше размера ячеек Бенара.
То есть у нас есть два варианта объяснения: либо мы не видим ещё какой-то очень существенной силы, которая заставляет молекулы в жидкости выстраиваться не квазислучайно (как того требует классическая термодинамика), а упорядоченно; либо «короткие» взаимодействия почему-то становятся «дальними» – и нам следует понять, почему именно.
Впрочем, никто в начале XX-го века об этом не задумывался. К сожалению, этот эффект надолго остался забавным фокусом, истинное значение которого всплыло (пардон за каламбур) спустя долгие 60 лет.
Если вам понравились ячейки Бенара а чашке, то вы можете переслать деньги на его карточку насладится ими же, но в масштабах планеты-гиганта. Перед вам свежайшие (буквально несколькомесячной давности) фотографии, сделанные с северного (сверху) и южного (снизу) полюсов Юпитера. Эти «сцепленные» между собой стабильные циклоны существуют по крайней мере в течение нескольких лет
продолжение следует ЗДЕСЬ